Регистрация по месту жительства не нарушает права на свободу передвижения. Она нужна, чтобы государство могло точнее распределять субсидии, следить за местами в детских садах и школах, планировать строительство поликлиник и считать нагрузку на врачей по участкам. И для разных других задач.

Регистрация может понадобиться при покупке квартиры, переезде на новое постоянное место жительства или чтобы прописать родственников.

Регистрацию по месту жительства оформляют органы МВД. Подать заявление на регистрацию можно через Госуслуги. Госпошлину платить не надо.

При регистрации взрослым ставят отметку в паспорте. Если понадобится временная регистрация, этот штамп останется.

Если место жительства меняется, по новому адресу нужно зарегистрироваться в течение семи дней, иначе можно получить штраф до 3000 рублей.

Вот инструкция по оформлению постоянной регистрации. Там все по шагам, со списком документов и полезными ссылками:

https://www.gosuslugi.ru/situation/residential_property/registration_of_citizens